國家理論科學中心主任郭光宇團隊 建立物質非線性光學的黎曼幾何理論 刊登於Nature Physics

對多數學者而言，微分幾何學是一門艱澀的抽象數學。然而，電子態的微分幾何結構（量子幾何）是近年來物理學者理解電子系統對靜態電磁場響應的基礎，例如量子霍爾效應源於半導體量子井中二維電子氣電子態的貝里曲率及其積分的拓撲不變性。然而，如何將量子幾何與物質光學響應作聯接則具挑戰性。最近，國家理論科學中心主任、本校物理系教授郭光宇和日本理化學研究所，東京大學及哈佛大學學者，應用指數計算和對稱分折，探討維爾和狄拉克粒子模型，發現拓撲半金屬在太赫茲電磁輻射下會產生龐大的體光伏效應，同時體光伏效應產生的四種光電流完全取決於費米能階附近電子態的幾何量如量子度量和貝里曲率（表一）。體光伏效應是指空間反轉對稱破缺的材料在光的照射下直流光電流的產生（圖一），是一種物質二階非線性光學響應。由於體光伏效應在光伏太陽能電池和太赫茲輻射檢測領域有應用前景，近年來引起人們的高度關注。例如，太赫茲電磁波的高靈敏檢測可能是第六代 (G6) 手機通信的關鍵技術之一。

將量子幾何與光學響應作聯接的主要困難在於光激發的電子躍遷涉及一對狀態（圖二），而已知幾何量（如貝里曲率和克氏符號） 僅為單一狀態定義的。迄今為止，光學響應的幾何理解僅限於二個狀態的系統如前面提到的維爾和狄拉克粒子模型，因為其希爾伯特空間完全是由單一狀態決定的。去年，郭教授與合作學者發現，固體布洛赫電子態的動量空間可以看作黎曼空間，而且電偶極矩光學躍遷矩陣元可以看作黎曼空間的流形體的切向量（圖二），他們並引進相關的微分幾何量如黎曼度量張量、黎曼度量連接和黎曼曲率，為材料的任意階的非線性光學響應建構一套黎曼幾何理論。奇妙的是，這些抽象的微分幾何量居然決定可量測的物質的線性與非線性光學響應的物理量，如表一所列。除表一所列的微分幾何量和描述體光伏效應的物理量的關聯性外，他們並預言三階光伏霍爾效應是由黎曼曲率張量主導的，並提出驗證此預言的實驗（圖二）。

這二項開創性研究成果分別發表於物理學頂尖期刊《物理評論X》（Physical Review X）和《自然物理》（Nature Physics）上：
https://journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/PhysRevX.10.041041
https://www.nature.com/articles/s41567-021-01465-z